Линеарне једначине и системи линеарних једначина
Линеарна једначина са једном непознатом је једначина облика: \(a\cdot x=b\) (или њена еквивалентна форма \(ax+b=c\)), где je са \(x\) означена променљива, а са \(a\), \(b\) и \(c\) коефицијенти који су најчешће реални бројеви. За решење ове линеарне једначине важи следеће:
- ако је \(a\neq 0\), онда је решење облика \(x=\frac{b}{a}\)
- ако je \(a=0\) и \(b=0\), онда једначина има бесконачно много решења
- ако је \(a=0\) и \(b\neq 0\), онда једначина нема решења
Најједноставнији систем линеарних једначина је са две једначине и две непознате: \[\begin{eqnarray*} a_1x+b_1y&=&c_1\\ a_2x+b_2y&=&c_2 \end{eqnarray*}\] где су са \(x, y\) означене непознате, а са \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\) коефицијенти.
Систем има јединствено решење ако је \(a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0\) и можемо га решити тако што ћемо изразити једну непознату у једној од једначина, (на пример, ако је \(a_1 \neq 0\), променљиву \(x\) из прве једначине као \(x=(c_1-b_1y)/a_1\)) и уврстимо добијени израз у другу једначину. На тај начин добијамо једначину са једном непознатом \(y\) коју умемо да решимо, а на основу њене вредности знамо да израчунамо и вредност друге непознате \(x\). Други начин за решавање оваквог система јесте да множењем ових једначина погодно одабраним коефицијенима ове једначине доведемо у стање да коефицијенти уз једну променљиву у овим једначинама буду супротни. Сабирањем овако добијених једначина добијамо линеарну једначину са једном непознатом коју знамо да решимо, а када имамо вредност једне непознате, једноставно добијамо и вредност друге непознате у систему.