Стваран и регистрован број заражених¶

Као број заражених се обично објављује број регистрованих случајева заразе. Стваран број заражених може бити само већи јер увек има оних који прележе болест, а не јаве се лекару нити се тестирају.

Такође се тренутак заразе одређене особе дешава нешто раније него што се та особа регистује као заражена о чему смо у претходним лекцијама већ говорили. Обично прво прође инкубациони период и након појаве симптома се особа јави лекару, па се тестира и тек кад се добије позитиван резултат теста онда буде регистрован још један случај заразе. У неким случајевима особа буде тестирана због контакта са другом зараженом особом или због обавезног тестирања пре путовања, али у сваком случају од заразе до позитивног резултата теста мора да прође одређен број дана. У крајњој линији тест неће ни бити позитиван ако се особа прерано тестира и болест се још увек није развила.

И поред тога што знамо да број регистрованих случајева и по обиму и по временском тренутку одступа од стварног броја заражених, то је и даље значајан показатељ. Једино што треба да будемо свесни могућих разлика у односу на стваран број заражених и да те разлике узмемо у обзир када је потребно.

Мерење времена у данима¶

Када пратимо динамику ширења епидемије, као јединицу мере користимо један дан, тј. 24 сата.

Као јединица мере за време, један дан је исто што и 24 сата. Међутим, у свакодневном говору реч „дан” се често користи у значењу календарског дана, у смислу да је до поноћи исти дан, а од поноћи наредни дан. Када кажемо „24 сата” обично желимо да нагласимо да не мислимо на календарски дан који почиње и завршава се у поноћ, него мислимо на период који почиње у неком тренутку и завршава се наредног дана у исто време.

Ради једноставнијег рачунања и временски тренутак ћемо изражавати у данима мерено од почетка периода који посматрамо.

На пример, ако посматрамо ширење епидемије од 10. јануара у поноћ, онда временски тренутак \(t = 3{,}5\) представља 13. јануар у подне.

Почетна формула¶

Претпоставимо да je у одређеној фази неке епидемије просечан генерацијски интервал \(T\) једнак \(5\) дана и да је репродукциони број \(R\) једнак \(3\). Даље претпоставимо да је у посматраној популацији у \(5\) узастопних дана било укупно \(100\) новозаражених. Поставља се питање колико очекујемо укупно новозаражених у наредних \(5\) дана у истој тој популацији?

Интуитиван одговор би био \(3\times 100=300\). Наиме, када би генерацијски интервал увек био тачно \(5\) дана, онда би свако ко се заразио у првом петодневном периоду пренео заразу даље у току другог петодневног периода на три особе у просеку. Тиме долазимо до рачунице од очекиваних \(300\) новозаражених у том другом петодневном периоду.

Можемо рећи да ће исти или сличан број да се добије и ако је генерацијски интервал у просеку \(5\) дана, а не сваки пут тачно \(5\) дана. У овој формулацији би нам математичари замерили на непрецизности, али овде не желимо дубље да улазимо у теорију вероватноће.

Означимо са \(N(t,\Delta t)\) број новозаражених у периоду који је почео у временском тренутакy \(t\) и трајао \(\Delta t\) дана.

На пример, \(N(t,1)\) изражава број новозаражених у току 24 сата почевши од тренутка \(t\). Слично \(N(t,T)\) изражава број новозаражених у периоду просечног генерацијског интервала \(T\).

Ранији закључак да ће у другом петодневном периоду бити \(3\times 100=300\) заражених сада можемо изразити формулом

У претходној формули је коришћена претпоставка \(R=3, T=5\). То значи да би у општим бројевима формула гласила

То је почетна формула из које ћемо даље изводити математичке моделе ширења епидемије. Та формула значи да ће се број новозаражених увећати \(R\) пута између два узастопна временска периода који трају по један просечан генерацијски интервал \(T\) (слика 2).

Слика 2. Илустрација почетне формуле¶

Треба добро разумети да ми овде не тврдимо да ће број новозаражених у наредном периоду сигурно бити тачно \(R\) пута већи, већ само кажемо да тако можемо очекивати. То је исто као што очекујемо да ће из 10 бацања новчића по 5 пута пасти глава и писмо, јер је једнако вероватан сваки од два исхода, али не можемо са сигурношћу тврдити шта ће се десити у конкретном случају бацања новчића 10 пута.