Епидемија и бројеви¶

У претходној лекцији смо научили шта се дешава када бактерије или вируси уђу у наше тело, тј. када се заразимо. Микроорганизам којим смо се заразили се размножава у нашем телу и једног тренутка и сами постајемо заразни, тј. можемо да пренесемо заразу на неког другог. На тај начин се зараза шири. Такође смо још на почетку научили да када број заражених пређе одређен ниво тада заразу називамо епидемијом. Тај праг када ћемо заразу звати епидемијом зависи од конкретне болести, али примети да је сам појам епидемије везан за неке бројеве.

Свакодневне конференције за медије које смо имали прилике да пратимо у јеку епидемије COVID-19 обично су почињале саопштавањем бројева, као што је број новозаражених, тестираних, хоспитализованих, на респираторима, преминулих и излечених. У вези тих бројева су се постављала разна питања, на пример да ли улазимо у експоненцијални раст, да ли се епидемиолошка крива заравњује итд.

Крајем 2019. године се у кинеском граду Вухану појавила особа заражена непознатим вирусом који изазива упалу плућа. Можда нисмо сасвим сигурни ко је био баш тај нулти пацијент и како је тачно вирус прешао на човека, али знамо да је зараза од тог нултог пацијента раширена на стотине милиона људи широм планете. И у свакој другој земљи или граду је слично све кренуло од појединца или мањег броја особа који су први донели заразу, а затим се зараза раширила.

Од математике која стоји иза свих тих епидемијских бројева, главно је да разумемо да свака заражена особа има сличан потенцијал да зарази остатак планете као и онај нулти пацијент из Вухана, докле год је преостало довољно људи који могу да се заразе. Потенцијал ширења епидемије је оно што највише треба да нас брине, без обзира колико су тренутно мали бројеви заражених у земљи или у граду у коме налазимо.

Са друге стране, једна заражена особа ретко непосредно зарази много других особа. Неко успе да не зарази никог даље, неко само једног, а неко непосредно пренесе заразу на више особа. Ту почиње математика. Пренос заразе са једног на другог човека је биолошки феномен, а разумевање динамике ширења заразе улази на терен математике.

На слици 1 је приказан почетак ширења неке замишљене епидемије, свака стрелица представља по један пренос заразе са особе на особу.

Слика 1. Почетак ширења епидемија¶

Дакле, зараза је пренета са особе A као нултог пацијента на особе B и C, затим са особе B на особе D, E и F, и тако даље. У наредне две табеле су приказани разни бројеви који се могу прочитати са слике 1 систематизовани по особама (табела 1) и по данима (табела 2).

Табела 1. Подаци са слике 1 систематизовани по особама¶

Генерација одређене заражене особе означава у колико преноса је зараза стигла од нултог пацијента до те особе. Свака новозаражена особа припада наредној генерацији у односу на генерацију особе која јој је пренела заразу. Приметимо да у једном дану могу бити заражене особе различитих генерација.

Када епидемија одмакне, у једном тренутку се више не могу одредити сви путеви преноса од нултог пацијента, па ни тачна генерација појединих заражених особа на нивоу целе епидемије. Међутим, овако детаљно посматрање остаје могуће на нивоу мањих заједница у којима је епидемија кренула да се шири, чиме се баве епидемиолози када трагају за новозараженима пратећи контакте.

Генерацијски интервал је период између тренутка када је преносилац заразе сам постао заражен и тренутка када је заразио нову особу. У табели 1 је генерацијски интервал записиван код новозаражене особе, тако да се гледа уназад колико дана је протекло од претходног заражавања у ланцу.

Генерацијски интервал је повезан са периодом инкубације. У претходној лекцији смо научили да особа најчешће постаје заразна пред крај периода инкубације, тј. нешто пре појаве симптома заразне болести. Са друге стране, када особа постане заразна, она преноси заразу и наредних дана. Тако је код многих заразних болести, укључујући COVID-19, просечан генерацијски интервал близу просечног периода инкубације.

Табела 2. Кретање броја заражених¶

Кретање броја заражених непосредно зависи од тога колики су генерацијски интервали и колики су степени даљег преноса.

Типична вредност степена даљег преноса назива се репродукциони број и обично се означава са \(R\). Тај број се може посматрати на одређеном делу популације, у одређеним околностима, у одређеној фази епидемије и слично. То значи да \(R\) није фиксирана вредност за одређену болест. Један од фактора који утиче на \(R\) је и присуство особа које се не могу заразити јер су већ болесне, опоравиле су се и стекле имунитет или су вакцинисане. Проценат таквих особа представља ниво колективног имунитета, чему ћемо посветити посебну лекцију. Укратко, ако је ниво колективног имунитета значајан онда то смањује могућност преноса заразе, јер се смањује број оних који су подложни зарази. То даље значи да ће и репродукциони број \(R\) бити мањи.

У случају када су у популацији још увек сви подложни зарази, или можемо занемарити проценат оних који су се икада заразили, тада репродукциони број означавамо са \(R_0\) и називамо га основни репродукциони број.

Репродукциони број сам за себе говори о томе да ли се епидемија шири, стагнира или опада:

• Ако је \(R>1\) онда се епидемија шири, тј. број новозаражених расте

• Ако је \(R=1\) онда епидемија стагнира, тј. број новозаражених има сличне вредности током времена

• Ако је \(R<1\) онда епидемија опада, тј. број новозаражених опада

Када је \(R>1\) онда на брзину ширења утиче и генерацијски интервал. На пример, ако је \(R=2\) то значи да ће они који су се данас заразили у наредним данима непосредно заразити дупло већи број нових особа. Међутим, да бисмо могли да претпоставимо после колико дана ће се број новозаражених удвостручити, потребно је да знамо и генерацијски интервал.

Пошто се генерацијски интервал разликује од случаја до случаја преноса заразе, као показатељ динамике ширења епидемије користимо просечан генерацијски интервал који ћемо овде означавати са \(T\).

У табели 1 смо на дну приказали просечне вредности за колоне „генерацијски интервал” и „степен даљег преноса”, што се може сматрати неком грубом проценом за \(R\) и \(T\). Ово је дато само као илустрација јер су у реалности на овако малом броју примера процене сувише непрецизне.

Репродукциони број \(R\) и просечан генерацијски интервал \(T\) су два основна параметра у динамици ширења епидемије. При томе је \(R\) подложнији променама у зависности од понашања становништва, предузетих епидемијских мера и других околности које се могу мењати. Са друге стране \(T\) зависи првенствено од типичног тока болести. тј. када након заражавања одређене особе та особа и сама постаје заразна, а затим и када престаје да буде заразна.

Добра процена \(R\) и \(T\) у реалности није увек једноставна јер не знамо све детаље о сваком случају преноса заразе. На пример, значајан део пацијената не зна или није сигуран када се заразио, али зна када су се појавили први симптоми болести. Стога је често лакше утврдити период између појаве симптома код два узастопна случаја у ланцу заразе. Тај период епидемиолози зову серијски интервал. Генерацијски и серијски интервал би статистички требало да имају сличне вредности, а главну разлику праве асимптоматски случајеви који не улазе у статистику за серијски интервал. Неки аутори научних и стручних радова чак и не праве разлику између серијског и генерацијског интервала.

Након што је познат просечан генерацијски интервал \(T\), тј. довољно добро процењен, репродукциони број \(R\) се може процењивати и статистичким методама на основу кретања броја заражених.

У табели 3 су дати примери вредности за основни репродукциони број и просечан генерацијски интервал за неке познате заразне болести.

Табела 3. Примери вредности за \(R_0\) и \(T\) за поједине заразне болести 1¶

Вероватно сте чули да је вирус морбила који изазива мале богиње изузетно заразан, шро значи да се веома лако преноси. У табели 3 видимо да једна особа заражена мобилама у просеку непосредно зарази 15 других особа. Наравно, уколико не би било вакцинације нити других мера превенције. Срећом, постоји ефикасна вакцина, а вакцинација против овог вируса је обавезна у Србији. Повремена појава малих богиња подсећа на значај вакцинације. Последња забележена епидемија ове болести је у Србији била 2007. године.

За свињски грип видимо да се брзо шири захваљујући малом генерацијском периоду. Треба имати у виду да је у борби против ширења епидемије кључно спуштање репродукциоог броја. Мали генерацијски интервал чак може и погодовати јер значи да се ефекти посебних мера брже показују.

Постоје бројна истраживања у којима се процењује генерацијски или серијски интервал за COVID-19 уз коришћење различитих статистичких метода и прикупљених података који су везани за различите географске локације и периоде епидемије.

Као пример ћемо навести процену из ране фазе ширења COVID-19 епидемије у Кини да просечан генерацијски интервал износи око 5 дана, а да основни репродукциони број \(R_0\) има вредност око 2. 2

У различитим истраживањима на конкретним подацима о случајевима заразе, вредности за генерацијски/серијски интервал за COVID-19 варирају између 4 и 7,5 дана, а за основни репродукциони број између 1,4 и 6,5. 3